构造“半角”型相似三角形

考生网初中几何模型 - 构造 “半角” 型相似三角形（正方形场景）

操作功能说明

• 初始化：点击后图形恢复题干初始布局（正方形 ABCD、点 E/F/G 等元素），条件与题目要求完全匹配。

• 全显示：点击后呈现该题完整证明逻辑，直接展示 “半角条件下线段等式（AE² = √2 × AD × AG）” 的推导链路。

• 分步操作：点击 “上一步 / 下一步”，可推进或回退证明步骤，逐步展示角的关系、三角形相似等核心推导环节。

• 视窗调整：可拖动图形区域，自由调整显示位置，聚焦正方形结构、线段旋转与角的关系细节。

• 全屏显示：点击界面右下角的全屏按钮，可切换至全屏模式展示模型；按 ESC 键可退出全屏模式。

核心用途说明

1. 对学生

• 攻克证明难点：聚焦 “正方形 + 线段旋转 + 半角条件” 类题目，通过操作梳理 “利用正方形性质 + 旋转全等找等角→证相似三角形→推导线段平方等式” 的逻辑，避免思路混乱。

• 提升效率：借助 “分步操作 + 全显结论”，直观跟踪证明流程，把抽象的 “旋转 + 半角” 背景下的线段等式转化为可落地的推导步骤。

2. 对教师

• 简化教学：无需手绘复杂的旋转与角标注，通过 “初始化 + 全显示”，5 分钟讲清正方形中半角条件下线段平方等式的证明方法，节省板书时间。

• 适配分层：基础弱的学生可直接查看结论；进阶学生可分步操作，自主推导旋转全等、相似判定的细节。

教学应用指南

• 课堂导入：初始化图形后提问 “正方形中 AE 绕 A 旋转 90° 得到 AF，结合∠DAE = 1/4∠BAD 的半角条件，怎么证明 AE² = √2 × AD × AG？”，切入核心思路。

• 难点突破：

1. 分析基础性质：正方形 ABCD 中 AD=AB、∠D=∠BAD=90°；AE 绕 A 顺时针旋转 90° 得 AF，故 AE=AF、∠EAF=90°，△AEF 为等腰直角三角形，∠AEF=45°。

2. 推导角的等量关系：由∠DAE=1/4∠BAD=22.5°，得∠EAB=90°-22.5°=67.5°；在△AEG 中，∠AGE=180°-∠EAB-∠AEF=67.5°，因此∠AED=∠AGE（∠AED=90°-22.5°=67.5°）。

3. 证相似推线段等式：由∠DAE=∠EAG=22.5°、∠AED=∠AGE，证得△ADE∽△EAG；结合等腰直角三角形的边长关系，最终推导出 AE² = √2 × AD × AG。

• 课后巩固：按照 “初始化→下一步→全显示” 的操作流程，总结 “正方形 + 线段旋转 + 半角条件，优先用旋转全等找等角，再证相似推导线段等式” 的规律。