（1）证明∠A=2∠BCE：
连接 OE（核心辅助线，DE 是切线→OE⊥DE），由切线性质得∠OED=90°，故∠D+∠DOE=90°；
因 AB 是直径，∠ACB=90°，故∠A+∠ABC=90°；结合已知∠D=∠ABC，得∠A=∠DOE；
由 OE=OC（半径），∠DOE 是△OCE 的外角，故∠DOE=2∠BCE，因此∠A=2∠BCE。
（2）求⊙O 的半径：
连接 BE（核心辅助线），由∠BEF=∠A（第一问结论推导）、∠BFE=∠EFA，得△BEF∽△EAF；
由相似性质得，代入 EF=3、BF=2，得，故；
直径，因此⊙O 的半径为，解决 “圆周角与切线结合题中辅助线构造及线段计算无思路” 的问题。

对教师

高效展示圆周角与切线的综合推导过程：分步演示 “连接 OE、BE” 的辅助线构造，以及切线性质、圆周角 - 圆心角关系、相似三角形的关联链路，清晰呈现从条件到结论的完整过程，减少手动绘图与逻辑梳理的繁琐；
适配圆的综合题教学场景：借助 “全显示” 功能，直观展示直径、切线与辅助线的结构关联，辅助引导学生梳理 “切线连半径→圆周角 - 圆心角转化→相似三角形求线段” 的逻辑，提升课堂讲解效率。

为什么选考生网的这个模型

“圆周角与圆心角关联” 是圆类综合题的核心考点，很多同学因 “忽略切线连半径的辅助线”“圆周角与圆心角的转化混乱” 丢分 —— 这个模型通过分步演示辅助线构造，把抽象的 “切线→半径→角转化→相似” 逻辑变直观，条件到半径的推导链路清晰对应，帮助学生建立 “切线必连半径、角转化必找圆周角 - 圆心角关系” 的解题习惯。

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11/12专辑：初中几何模型-圆的辅助线

0.01M遇正多边形内切圆时常作的辅助线例2

0.01M遇正多边形外接圆时常作的辅助线典例3

0.01M遇正多边形外接圆时常作的辅助线典例2

0.01M遇正多边形外接圆时常作的辅助线典例1

0.01M遇正多边形内切圆时常作的辅助线例1

0.01M过圆心作垂线，证半径

0.01M已知直线与圆的交点，连接半径，证垂直

0.01M与垂径定理有关的辅助线

0.01M过圆心作弦的垂线，构造直角三角形

0.01M弦与圆的两个交点与圆心相连，构造直角三角形

与圆周角、圆心角有关的辅助线典例2

0.01M与圆周角、圆心角有关的辅助线典例1

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