初中几何模型 - 垂径定理典例 8

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含⊙O、半径 OA、OA 上的点 P、过 P 且垂直 OA 的弦 BC 的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致，适配课堂演示与自主学习流程。
2. 全显示

   点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现 “⊙O 的结构→OA 为半径的标注→BC⊥OA 的垂直关系标注→BC=8（由垂径定理得 BP=PC=4）的长度标注→AP=2 的长度标注” 的完整展示链路，将垂径定理的核心条件以可视化方式呈现，降低对 “垂直于半径的弦被平分” 这一结论的理解难度。
3. 上一步 / 下一步

   点击 “下一步”：逐步推进展示流程，依次呈现 “⊙O 的基础布局→半径 OA 的定位→点 P 在 OA 上的位置→弦 BC 及 BC⊥OA 的垂直关系→BC=8、AP=2 的长度标注” 的内容，拆分垂径定理典例的认知步骤，辅助使用者逐步梳理操作逻辑；

   点击 “上一步”：回退至前一个展示画面，便于使用者回顾已呈现的操作内容、教师复盘演示细节。
4. 窗口内容拖动调整

   拖动图形区域内的⊙O、半径 OA、点 P、弦 BC 及相关标注，可自主调整其在界面中的显示位置，避开页面遮挡元素，更清晰地聚焦 “半径 OA - 弦 BC 垂直 - 线段长度（BP=4、AP=2）” 的关联逻辑。
5. 全屏播放与退出操作

   点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将几何图形与操作界面切换至全屏模式，优化视觉布局，清晰呈现 “垂径定理条件（BC⊥OA）→弦的平分关系（BP=PC）→勾股定理求半径” 的完整逻辑链，适配教室大屏演示、学生沉浸式学习的场景；

   退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可快速退出全屏状态，恢复原界面布局。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 掌握垂径定理的操作关联

   通过全显示、步骤展示操作，明确 “垂直于半径的弦被该半径平分” 的垂径定理核心逻辑，攻克圆中弦与半径垂直的长度计算题型的理解难点。
2. 强化勾股定理的应用能力

   借助垂径定理的弦平分关系（BP=4），结合半径与 AP 的长度关系（设半径为 r，则 OP=r-2），利用 Rt△OPB 的勾股定理（r²=4²+(r-2)²）求解半径，提升圆与直角三角形结合的计算分析能力。
3. 构建圆的几何操作体系

   结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解垂径定理与勾股定理的关联，形成系统化的圆中线段长度计算的操作框架。

（2）对教师

1. 高效展示典例核心逻辑

   无需手动推导弦的平分关系，通过 “全显示 + 上一步 / 下一步” 功能快速呈现 “垂径定理条件→弦平分→勾股定理计算” 的链路，节省课堂演示与推导时间。
2. 分层教学适配全层次学生

   基础层学生：通过 “全显示” 观察垂径定理的条件布局，配套 “标记 BC⊥OA、BP=4、AP=2” 的任务，掌握基础操作关联；

   进阶层学生：结合步骤展示，梳理 “垂径定理→弦平分→勾股定理列方程” 的几何原理，总结圆半径的求解规律。
3. 丰富课堂互动形式

   以 “可视化步骤展示” 替代传统讲解，让垂径定理的计算探究更具直观性，提升学生课堂参与度。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：九年级 “垂径定理的半径计算” 操作课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示初始布局的垂径定理典例 8 图形，提问 “圆中弦垂直于半径时，如何利用弦长和线段长度求圆的半径？”，引出本典例的操作演示；
2. 模型操作

   点击 “初始化”，恢复典例初始布局；

   点击 “下一步”，依次展示⊙O 布局、半径 OA、点 P 定位；

   点击 “全显示”，完整呈现 BC⊥OA、BC=8、AP=2 的标注及 BP=4 的平分关系；

   拖动图形区域内容，调整显示位置，清晰聚焦核心元素；

   点击 “全屏播放”，在大屏模式下清晰展示操作流程；
3. 分层任务

   基础层：在展示界面中标记 BC⊥OA、BP=4、AP=2，明确典例基础条件关联；

   进阶层：结合垂径定理与勾股定理，列出关于半径 r 的方程并求解；
4. 总结反馈

   引导学生结合操作内容，总结 “垂径定理典例中半径计算的操作要点（弦垂直半径→弦平分→勾股定理列方程）”，强化对垂径定理应用的认知。