初中几何模型 - 垂径定理典例 1

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含⊙O、直径 AB、弦 BC、点 D（弦 BC 的中点）、延长 OD 至 E（交⊙O 于 E）、连接 AE 等元素的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致。
2. 全显示

   点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现 “⊙O 的结构→AB 为直径的标注→∠BOC=120° 的角度标注→D 为弦 BC 中点的定位标注→OB=2 的长度标注” 的完整条件展示，明确典例核心图形与数值条件。
3. 步骤切换（上一步 / 下一步）

   点击 “下一步” 按钮，可逐步展示图形操作的关键辅助线添加步骤（点击 “上一步” 按钮可回退至前一操作状态）：

• 操作步骤 1：展示 “连接相关线段（如强化 BC 与 OD 的关联）” 的辅助线添加效果；
• 操作步骤 2：展示 “聚焦 AE 与 OC 交点 F 的图形关系” 的标注效果；

1. 窗口内容拖动调整

   拖动图形区域内的⊙O、直径 AB、弦 BC、辅助线及相关标注，可自主调整其在界面中的显示位置，避免遮挡，更清晰地查看图形元素与关系。
2. 全屏播放与退出

   点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将几何图形与操作界面切换至全屏模式，优化视觉展示效果；

   退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可恢复原界面布局。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 掌握垂径定理的辅助线策略

   通过分步展示的辅助线操作，明确 “圆中弦中点问题优先关联圆心与中点的连线” 的图形操作策略，攻克圆中直径、弦中点关联问题的辅助线添加难点。
2. 强化垂径定理的综合应用能力

   借助操作流程中图形元素的分步展示，掌握 “垂径定理（弦中点与圆心连线垂直弦）→直径与角度的关联” 的几何关系分析方式，提升圆内多元素关联的图形分析能力。
3. 构建圆内线段分析的操作体系

   结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解圆中直径、弦、中点融合的题型特征，形成以辅助线操作为核心、关联垂径定理的圆内线段分析操作框架。

（2）对教师

1. 高效展示图形操作逻辑

   无需手动分步绘制图形元素，通过 “上一步 / 下一步” 按钮快速呈现辅助线添加与图形关系展示的完整流程，节省课堂中圆内复杂图形的演示与关系梳理时间。
2. 分层教学适配全层次学生

• 基础层学生：通过步骤展示，配套 “标记弦中点 D 与 OD 的关联” 的任务，掌握基础图形操作步骤；
• 进阶层学生：结合步骤逻辑，梳理 “垂径定理→弦与圆心连线的垂直关系→直径相关角度” 的几何关系链条，总结圆内线段分析的操作规律。

1. 丰富课堂互动形式
   以 “分步流程展示 + 可视化标注” 替代传统板书绘图，让圆内直径、弦、中点关联的探究更具直观性与条理性，提升学生课堂参与度。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：九年级 “圆内垂径定理的综合应用” 操作课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示初始布局的垂径定理典例 1 图形，提问 “圆中已知直径、弦中点与角度，如何通过图形操作分析线段的长度？”，引出本典例的操作演示；
2. 模型操作

• 点击 “初始化”，恢复典例初始布局；
• 点击 “全显示”，完整呈现 AB 为直径、∠BOC=120°、D 是 BC 中点、OB=2 的条件标注；
• 点击 “下一步”，逐步展示辅助线添加与图形关系聚焦流程，引导学生识别每一步操作对应的定理应用（垂径定理等）；
• 拖动图形区域内容，调整显示位置，清晰聚焦核心图形元素；
• 点击 “全屏播放”，在大屏模式下清晰展示完整图形操作流程；

1. 分层任务

• 基础层：在展示界面中标记弦中点 D 与 OD 的关联，明确分析基础图形操作条件；
• 进阶层：结合步骤逻辑，独立推导每一步操作对应的定理依据，自主梳理圆内直径、弦、中点的关联关系；

1. 总结反馈
   引导学生结合操作内容，总结 “圆内垂径定理应用的操作要点（辅助线：关联弦中点与圆心；核心逻辑：通过操作关联垂径定理分析图形关系）”，强化对圆内线段分析操作的认知。