初中几何模型 - 垂径定理典例 7

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含⊙O、弦 AB、圆心 O 到 AB 的距离标注的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致，适配课堂演示与自主学习流程。
2. 全显示

   点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现 “⊙O 的结构→半径为 7 的标注→圆心 O 到弦 AB 的距离为 2 的标注” 的完整展示链路，明确典例的初始条件，降低对圆与弦位置关系的理解难度。
3. 弦位置切换操作

   点击 “弦在 AB 下方”/“弦在 AB 上方” 选项，可切换展示对应位置、与 AB 距离为 3 的弦：

• 弦在 AB 下方：该弦到圆心 O 的距离为 “2+3=5”，同步呈现该弦的弦心距标注；
• 弦在 AB 上方：该弦到圆心 O 的距离为 “|2-3|=1”，同步呈现该弦的弦心距标注；
  通过切换操作，直观展示 “与 AB 距离为 3 的弦” 的两种存在情况，辅助理解弦的位置多样性。

1. 窗口内容拖动调整

   拖动图形区域内的⊙O、弦 AB 及对应位置的弦、标注等元素，可自主调整其在界面中的显示位置，避开页面遮挡元素，更清晰地聚焦 “不同位置的弦→对应弦心距→弦长计算” 的关联逻辑。
2. 全屏播放与退出操作

   点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将几何图形与操作界面切换至全屏模式，优化视觉布局，清晰呈现 “两种弦位置→弦心距计算→垂径定理 + 勾股定理求弦长” 的完整逻辑链，适配教室大屏演示、学生沉浸式学习的场景；

   退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可快速退出全屏状态，恢复原界面布局。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 掌握弦的位置多样性与弦心距计算

   通过弦位置切换操作，明确 “与已知弦距离固定的弦可能存在两种位置（上方、下方）”，并掌握不同位置下弦心距的计算方法（下方：初始弦心距 + 距离；上方：| 初始弦心距 - 距离 |），攻克圆中弦位置多解性的认知难点。
2. 强化垂径定理的应用能力

   借助不同位置的弦心距，结合圆的半径，利用垂径定理（弦长 = 2×√(半径 ²- 弦心距 ²)）计算弦长，提升 “弦心距→弦长” 的转化与计算分析能力。
3. 构建圆的多解问题操作体系

   结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解圆中弦位置的多解特征，形成系统化的圆中弦长计算（含多解情况）的操作框架。

（2）对教师

1. 高效展示多解情况的核心逻辑

   无需手动绘制两种弦的位置，通过 “弦位置切换” 操作快速呈现多解场景，搭配全显示的条件标注，节省课堂演示与多解分析的时间。
2. 分层教学适配全层次学生

   基础层学生：通过 “全显示” 观察初始条件，配套 “标记圆半径、初始弦心距” 的任务，掌握基础操作关联；

   进阶层学生：结合弦位置切换操作，梳理 “不同位置→弦心距计算→垂径定理求弦长” 的几何原理，总结圆中弦长多解问题的求解规律。
3. 丰富课堂互动形式

   以 “弦位置切换 + 可视化标注” 替代传统讲解，让圆中弦的多解问题探究更具直观性与互动性，提升学生课堂参与度。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：九年级 “垂径定理的弦长多解问题” 操作课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示初始布局的垂径定理典例 7 图形，提问 “圆中与已知弦距离固定的弦，可能有几种位置？对应的弦长怎么计算？”，引出本典例的操作演示；
2. 模型操作

   点击 “初始化”，恢复典例初始布局；

   点击 “全显示”，完整呈现半径 7、初始弦心距 2 的标注；

   点击 “弦在 AB 下方”“弦在 AB 上方” 选项，切换展示两种位置的弦，观察对应的弦心距；

   拖动图形区域内容，调整显示位置，清晰聚焦核心元素；

   点击 “全屏播放”，在大屏模式下清晰展示操作流程；
3. 分层任务

   基础层：在展示界面中标记圆半径 7、初始弦心距 2，明确典例基础条件关联；

   进阶层：结合两种弦的位置，计算对应弦心距，并利用垂径定理求出弦长；
4. 总结反馈

   引导学生结合操作内容，总结 “垂径定理中弦长多解问题的操作要点（弦的两种位置→弦心距计算→垂径定理求弦长）”，强化对圆中多解问题的认知。