初中几何模型-垂径定理典例3

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含⊙A、⊙B（以 AB 两端为圆心）、两圆交点 C/D 及连接的 CD、AB 的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致。
2. 全显示

   点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现 “⊙A 与⊙B 的结构→AB=7 的长度标注→CD=6 的公共弦长标注→⊙A 半径为 5 的标注” 的完整条件展示，明确典例核心图形与数值条件。
3. 步骤切换（上一步 / 下一步）

   点击 “下一步” 按钮，可逐步展示图形操作的关键辅助线添加步骤（点击 “上一步” 按钮可回退至前一操作状态）：

• 操作步骤 1：展示 “连接 AC” 的辅助线添加效果；
• 操作步骤 2：展示 “连接 BC” 的辅助线添加效果；

1. 窗口内容拖动调整

   拖动图形区域内的⊙A、⊙B、辅助线（AC、BC）、线段 AB/CD 及相关标注，可自主调整其在界面中的显示位置，避免遮挡，更清晰地查看图形元素与关系。
2. 全屏播放与退出

   点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将几何图形与操作界面切换至全屏模式，优化视觉展示效果；

   退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可恢复原界面布局。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 掌握两圆相交的辅助线策略

   通过分步展示的辅助线（连接两圆交点与圆心），明确 “两圆相交问题优先关联公共弦与圆心连线” 的图形操作策略，攻克两圆相交类问题的辅助线添加难点。
2. 强化垂径定理的跨圆应用能力

   借助操作流程中辅助线的分步展示，掌握 “垂径定理在两圆公共弦问题中的应用” 的几何关系关联方式，提升两圆相交场景下的图形分析能力。
3. 构建两圆问题的操作体系

   结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解两圆相交的题型特征，形成以辅助线操作为核心、关联垂径定理的两圆问题分析操作框架。

（2）对教师

1. 高效展示两圆问题的操作逻辑

   无需手动分步绘制辅助线，通过 “上一步 / 下一步” 按钮快速呈现辅助线添加与图形关系展示的完整流程，节省课堂中两圆图形演示与关系梳理的时间。
2. 分层教学适配全层次学生

• 基础层学生：通过步骤展示，配套 “标记辅助线（AC、BC）与核心图形关系” 的任务，掌握基础图形操作步骤；
• 进阶层学生：结合步骤逻辑，梳理 “两圆相交→公共弦→垂径定理关联” 的几何关系链条，总结两圆问题的操作规律。

1. 丰富课堂互动形式
   以 “分步流程展示 + 可视化标注” 替代传统板书绘图，让两圆相交问题的探究更具直观性与条理性，提升学生课堂参与度。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：九年级 “两圆相交的垂径定理应用” 操作课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示初始布局的垂径定理典例 3 图形，提问 “两圆相交时，已知公共弦长、圆心距与其中一圆半径，如何通过图形操作分析另一圆半径？”，引出本典例的操作演示；
2. 模型操作

• 点击 “初始化”，恢复典例初始布局；
• 点击 “全显示”，完整呈现 AB=7、CD=6、⊙A 半径为 5 的条件标注；
• 点击 “下一步”，逐步展示辅助线添加流程，引导学生识别每一步操作对应的定理应用（垂径定理等）；
• 拖动图形区域内容，调整显示位置，清晰聚焦核心图形元素；
• 点击 “全屏播放”，在大屏模式下清晰展示完整图形操作流程；

1. 分层任务

• 基础层：在展示界面中标记辅助线 AC、BC，及对应的图形关系，明确分析基础图形操作条件；
• 进阶层：结合步骤逻辑，独立推导每一步操作对应的定理依据，自主梳理两圆相交的图形关系；

1. 总结反馈
   引导学生结合操作内容，总结 “两圆相交问题的操作要点（辅助线：连接交点与圆心；核心逻辑：通过操作关联垂径定理分析关系）”，强化对两圆相交操作的认知。