初中几何模型 - 垂径定理典例 6

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含⊙O、直径 AB、弦 BC、∠ABC 的平分线 BD、过 D 且垂直 BC 延长线的 DE 的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致，适配课堂演示与自主学习流程。
2. (1) 切线证明步骤操作

   点击 “(1) 步骤” 按钮，逐步展示 “DE 是⊙O 的切线” 的证明流程：

• 步骤 1：展示 “连接半径 OD” 的辅助线标注；
• 步骤 2：标注 “OD=OB→∠ODB=∠OBD” 的等腰三角形角关系；
• 步骤 3：标注 “BD 平分∠ABC→∠OBD=∠EBD” 的角平分线性质；
• 步骤 4：推导 “∠ODB=∠EBD→OD∥BE” 的平行关系；
• 步骤 5：标注 “DE⊥BE→DE⊥OD” 的垂直关系，结合 “OD 是半径”，证得 DE 是切线。

1. (2) 直径求解步骤操作
   点击 “(2) 步骤” 按钮，逐步展示 “求⊙O 的直径” 的计算流程：

• 步骤 1：展示 “作 OF⊥BC 于点 F” 的垂径定理辅助线标注；
• 步骤 2：标注 “由垂径定理得 BF=FC=BC/2=2.5” 的弦平分关系；
• 步骤 3：标注 “四边形 ODEF 是矩形（DE⊥BC、OF⊥BC、DE⊥OD）→OF=DE=6” 的矩形性质；
• 步骤 4：设⊙O 半径为r（即OB=OD=r），展示 “在 Rt△OBF 中，r2=OF2+BF2” 的勾股定理关系，计算得半径，进而得直径。

1. 窗口内容拖动调整

   拖动图形区域内的⊙O、辅助线（OD、OF）、点与线段及相关标注，可自主调整其在界面中的显示位置，避开页面遮挡元素，更清晰地聚焦 “切线证明的角关系→直径求解的垂径定理 + 勾股定理” 的关联逻辑。
2. 全屏播放与退出操作

   点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将几何图形与操作步骤切换至全屏模式，优化视觉布局，清晰呈现 “切线证明（连半径证垂直）→直径求解（垂径定理 + 矩形 + 勾股定理）” 的完整逻辑链，适配教室大屏演示、学生沉浸式学习的场景；

   退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可快速退出全屏状态，恢复原界面布局。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 掌握圆的切线证明方法

   通过 “(1) 步骤” 的流程展示，明确 “连半径、证垂直” 是圆切线证明的核心逻辑，攻克切线证明的方法性难点。
2. 强化垂径定理的综合应用能力

   借助 “(2) 步骤” 的辅助线与计算流程，掌握 “垂径定理（弦的平分）+ 矩形性质（线段等量转化）+ 勾股定理（长度计算）” 的组合应用，提升圆中线段长度的综合分析与计算能力。
3. 构建圆的综合题型操作体系

   结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解 “切线证明 + 垂径定理 + 勾股定理” 的题型特征，形成系统化的圆综合题解题操作框架。

（2）对教师

1. 高效展示综合题的解题流程

   无需手动分步推导，通过 “(1) 步骤”“(2) 步骤” 按钮快速呈现切线证明与直径求解的完整逻辑，节省课堂演示与解题推导的时间。
2. 分层教学适配全层次学生

   基础层学生：通过步骤展示，配套 “标记辅助线（OD、OF）与核心角 / 线段关系” 的任务，掌握基础解题步骤；

   进阶层学生：结合步骤逻辑，梳理 “切线证明的角转化→直径求解的线段等量与勾股定理” 的几何原理，总结圆综合题的解题规律。
3. 丰富课堂互动形式

   以 “分步流程展示 + 可视化标注” 替代传统板书推导，让圆综合题的解题探究更具直观性与条理性，提升学生课堂参与度。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：九年级 “圆综合题（切线 + 直径）” 操作课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示初始布局的垂径定理典例 6 图形，提问 “如何证明 DE 是圆的切线？又如何利用已知弦长、垂线段长求圆的直径？”，引出本典例的操作演示；
2. 模型操作

   点击 “初始化”，恢复典例初始布局；

   点击 “(1) 步骤”，逐步展示切线证明的流程，引导学生梳理 “连半径→角相等→平行→垂直” 的逻辑；

   点击 “(2) 步骤”，逐步展示直径求解的辅助线与计算流程，引导学生识别垂径定理、矩形的应用；

   拖动图形区域内容，调整显示位置，清晰聚焦核心元素；

   点击 “全屏播放”，在大屏模式下清晰展示完整解题流程；
3. 分层任务

   基础层：在展示界面中标记辅助线 OD、OF，及 BF=2.5、OF=6 的线段关系，明确解题基础条件；

   进阶层：结合步骤逻辑，独立推导切线证明的角关系，并利用勾股定理计算圆的半径与直径；
4. 总结反馈

   引导学生结合操作内容，总结 “圆综合题的操作要点（切线证法：连半径证垂直；直径求解：垂径定理 + 图形性质 + 勾股定理）”，强化对圆综合题型的认知。