初中几何模型 - 垂径定理典例 5

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含⊙O、内接四边形 ABCD、直径 AB 的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致。
2. 全显示

   点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现 “⊙O 的结构→AB 为直径的标注→OD∥BC 的平行关系标注→CD 的弦长标注” 的完整条件展示，明确典例核心图形条件。
3. 步骤切换（上一步 / 下一步）

   点击 “下一步” 按钮，可逐步展示图形操作的关键辅助线添加步骤（点击 “上一步” 按钮可回退至前一操作状态）：

• 操作步骤 1：展示 “连接 OC” 的辅助线添加效果；
• 操作步骤 2：展示 “作 OE⊥CD 于点 E” 的辅助线添加效果；

1. 窗口内容拖动调整

   拖动图形区域内的⊙O、辅助线（OC、OE）、四边形 ABCD 及相关标注，可自主调整其在界面中的显示位置，避免遮挡，更清晰地查看图形元素与关系。
2. 全屏播放与退出

   点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将几何图形与操作界面切换至全屏模式，优化视觉展示效果；

   退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可恢复原界面布局。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 掌握垂径定理的辅助线策略

   通过分步展示的辅助线（作弦的垂线），明确 “垂径定理问题优先作弦心距” 的图形操作策略，攻克圆中弦长相关问题的辅助线添加难点。
2. 强化多定理综合关联能力

   借助操作流程中辅助线的分步展示，掌握 “垂径定理 + 平行性质 + 圆周角定理” 的几何关系组合关联方式，提升圆内接四边形中多定理融合的几何关系分析能力。
3. 构建圆的综合题型操作体系

   结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解圆中多定理融合的题型特征，形成以辅助线操作为核心、关联多定理的圆综合题分析操作框架。

（2）对教师

1. 高效展示综合题的图形操作逻辑

   无需手动分步绘制辅助线，通过 “上一步 / 下一步” 按钮快速呈现辅助线添加与图形关系展示的完整流程，节省课堂中图形演示与关系梳理的时间。
2. 分层教学适配全层次学生

• 基础层学生：通过步骤展示，配套 “标记辅助线（OC、OE）与核心图形关系” 的任务，掌握基础图形操作步骤；
• 进阶层学生：结合步骤逻辑，梳理 “垂径定理→平行性质→圆周角定理” 的几何关系关联链条，总结圆综合题的图形操作与定理关联规律。

1. 丰富课堂互动形式
   以 “分步流程展示 + 可视化标注” 替代传统板书绘图，让圆综合题的图形操作与关系探究更具直观性与条理性，提升学生课堂参与度。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：九年级 “圆综合题（多定理关联）” 操作课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示初始布局的垂径定理典例 5 图形，提问 “圆内接四边形中，已知直径、弦长与平行关系，如何通过图形操作关联多定理分析几何关系？”，引出本典例的操作演示；
2. 模型操作

• 点击 “初始化”，恢复典例初始布局；
• 点击 “全显示”，完整呈现 AB 为直径、OD∥BC、CD 为弦的条件标注；
• 点击 “下一步”，逐步展示辅助线添加流程，引导学生识别每一步操作对应的定理应用（垂径定理、圆周角定理等）；
• 拖动图形区域内容，调整显示位置，清晰聚焦核心图形元素；
• 点击 “全屏播放”，在大屏模式下清晰展示完整图形操作流程；

1. 分层任务

• 基础层：在展示界面中标记辅助线 OC、OE，及对应的图形关系，明确解题基础图形操作条件；
• 进阶层：结合步骤逻辑，独立推导每一步操作对应的定理依据，自主梳理多定理关联的几何关系；

1. 总结反馈
   引导学生结合操作内容，总结 “圆综合题的操作要点（辅助线：弦心距；核心逻辑：通过操作分步关联多定理分析几何关系）”，强化对圆综合题型图形操作的认知。