初中几何模型 - 射影定理典例 6（正方形 + 圆 + 射影定理的综合长度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现正方形 ABCD、E 为 AB 上一点、AF⊥DE（垂足为 F）、过 C、D、F 的⊙O（交 AD 于 G），标注 DF=5、EF=1，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注 AF⊥DE 对应的相似三角形（△AEF∽△DAF）、正方形边等量关系（AD=CD）、⊙O 的圆周角关系（∠DGF=∠DCF）、△DGF∽△DCF 的相似标识、射影定理与相似比例的关联线段。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先由 AF⊥DE、正方形的角性质，推导△AEF∽△DAF，利用射影定理得AF2=EF⋅DF计算 AF 的长度；再结合勾股定理计算正方形边长 AD（即 CD）；接着利用⊙O 的圆周角性质，得∠DGF=∠DCF，结合∠GDF=∠FDC推导△DGF∽△DCF；最后通过相似比例DFDG=DCDF计算 DG 的长度；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如相似三角形的判定、圆周角性质的应用）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “正方形 + 圆 + 射影定理的综合求解” 场景）

• 理解多图形融合逻辑：掌握正方形的角 / 边性质、射影定理的相似关系、圆的圆周角性质的结合方式；

• 掌握综合推导方法：通过相似三角形、射影定理、圆周角性质的串联，完成线段长度的计算；

• 完成长度求解：通过分步构造的逻辑链条，计算出 DG 的长度。

1. 教师端（针对 “正方形 + 圆 + 射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “射影定理求线段→勾股定理求边长→圆周角 + 相似求结果” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “射影定理的相似关系、正方形的边性质”，进阶层聚焦 “圆的圆周角与相似三角形的串联推导”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 与 “正方形性质、圆的圆周角” 的综合应用，强化跨图形知识点的解题思维。

三、教学应用案例（适配正方形 + 圆 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“正方形 ABCD 中，AF⊥DE 且 DF=5、EF=1，过 C、D、F 的圆交 AD 于 G，如何结合射影定理、圆的性质，求出 DG 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “正方形、AF⊥DE、DF=5EF=5” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“AF⊥DE 时，哪两个三角形相似？”“⊙O 的圆周角能推出什么角的关系？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生结合相似比例计算 DG 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明 AF⊥DE 对应的相似三角形及射影定理关系；

• 进阶层任务：推导 DG 的长度，并说明用到的射影定理、圆周角性质与相似三角形判定。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是正方形、射影定理与圆的综合应用，先通过射影定理与勾股定理求出正方形边长，再利用圆的圆周角性质推导相似三角形，最后通过相似比例求解 DG，是初中几何中多图形知识点融合的典型题型。”

生成射影定理典例6的教学案例

射影定理典例6的用途是什么？

如何利用射影定理典例6进行教学？