初中几何模型 - 射影定理典例 4（等腰三角形 + 射影定理的乘积求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现等腰△ABC（AB=AC）、D 为 BC 上一点（BC=2BD=6）、DE⊥AC（垂足为 E），同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注等腰三角形 “三线合一” 性质（AD⊥BC）、CD=BD=3 的线段标识、△CDE 与△CAD 的相似关系标注、射影定理对应的乘积关系（CD2=AC⋅EC）。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先由 AB=AC、BC=2BD，推导 AD⊥BC（等腰三角形三线合一），得 CD=BD=3；再由 DE⊥AC、∠C 为公共角，推导△CDE∽△CAD；最后由相似三角形的比例关系得CD2=AC⋅EC，代入 CD=3 计算得 AC・EC 的值；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如等腰三角形三线合一的应用、相似三角形的判定）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “等腰三角形 + 射影定理的乘积求解” 场景）

• 理解等腰三角形核心性质：掌握 “三线合一”（AB=AC 时，AD 既是中线也是高）的应用；

• 掌握射影定理的推导：通过相似三角形的判定，推导射影定理对应的线段乘积关系；

• 完成乘积求解：利用等腰三角形性质与射影定理，计算 AC・EC 的值。

1. 教师端（针对 “等腰三角形与射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “三线合一→相似三角形→射影定理乘积” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的判定”，进阶层聚焦 “射影定理乘积关系的推导”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 在等腰三角形场景中的应用，强化特殊图形性质与几何定理的融合思维。

三、教学应用案例（适配等腰三角形 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“等腰△ABC 中，AB=AC 且 BC=2BD=6，DE⊥AC，如何结合等腰三角形性质与射影定理，求出 AC・EC 的值？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “等腰△ABC、BC=2BD=6、DE⊥AC” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“AB=AC 时，AD 为什么垂直 BC？”“DE⊥AC 能推出哪两个三角形相似？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生通过相似比例推导 AC・EC 的值。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明等腰三角形 “三线合一” 的性质，以及△CDE 与△CAD 的相似判定条件；

• 进阶层任务：推导 AC・EC 的值，并说明用到的等腰三角形性质、相似三角形判定与射影定理。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是等腰三角形性质与射影定理的综合应用，先通过‘三线合一’确定 CD 的长度，再由相似三角形推导射影定理的乘积关系，最终求出 AC・EC 的值，是特殊图形性质与几何定理结合的典型题型。”