初中几何模型 - 射影定理典例 7（圆 + 直角三角形 + 射影定理的综合长度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现△ABC、以 AC 为直径的⊙O（交 BC 于 D）、BG⊥AC（交⊙O 于 E、H），标注 BD=8、DC=6，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注 AC 为直径对应的圆周角（∠ADC=90°、∠AEC=90°）、AD⊥BC 的直角标识、△CDE 与△CAB 的相似关系标注、射影定理关联的线段比例关系。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先利用 “AC 为直径” 推导∠ADC=90°（圆周角定理），通过射影定理得AD2=BD⋅DC计算 AD 的长度；再结合勾股定理计算 AC 的长度；接着利用 “AC 为直径” 推导∠AEC=90°，关联∠CDE 与∠CAB 的等量关系，推导△CDE∽△CAB；最后通过相似比例计算 CE 的长度；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如圆周角定理的应用、相似三角形的判定）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “圆 + 直角三角形 + 射影定理的综合求解” 场景）

• 理解圆的核心性质：掌握 “直径所对圆周角为直角” 的圆周角定理，明确∠ADC、∠AEC 为直角的依据；

• 掌握多知识点融合方法：结合射影定理、勾股定理、相似三角形的判定，完成线段长度的推导；

• 完成长度求解：通过分步构造的逻辑链条，计算出 CE 的长度。

1. 教师端（针对 “圆与射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “圆周角定理→射影定理→勾股定理→相似三角形” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “圆周角定理的应用、射影定理的基本关系”，进阶层聚焦 “多知识点的融合推导与计算”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 与 “圆的性质、相似三角形” 的综合应用，强化跨知识点的解题思维。

三、教学应用案例（适配圆 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“△ABC 中，以 AC 为直径作圆交 BC 于 D，BG⊥AC 交圆于 E，已知 BD=8、DC=6，如何结合圆的性质与射影定理，求出 CE 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “AC 为直径的圆、BD=8、DC=6” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“AC 为直径能推出哪些角是直角？”“AD⊥BC 时，射影定理能得到什么线段关系？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生结合相似三角形的比例关系，计算 CE 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明 “AC 为直径” 对应的圆周角性质，以及 AD⊥BC 时的射影定理关系；

• 进阶层任务：推导 CE 的长度，并说明用到的圆周角定理、射影定理、相似三角形判定。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是圆的性质、射影定理、相似三角形的综合应用，先通过圆周角定理确定直角，再利用射影定理与勾股定理计算线段长度，最后通过相似三角形的比例关系求解 CE，是初中几何中跨知识点综合题的典型题型。”