初中几何模型 - 射影定理典例 12（圆中弦折叠 + 直径的长度问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现圆、直径 AB（AD=4、DB=5）、沿弦 BC 折叠后的图形（折叠弧与 AB 交于 D），同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注折叠后的对称弧（体现折叠的弧 / 角等量关系）、辅助线（如连接 AC）、直径对应的直角标识（∠ACB=90°）、射影定理适用的三角形关系标注。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先确定直径 AB 的长度（AD+DB=9），再展示 “AB 是直径→∠ACB=90°” 的直角关系，接着呈现折叠后的角等量关系（∠BDC=∠BAC），推导△ACD∽△ABC，最后利用射影定理（或相似三角形边长关系）计算 BC 的长度；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如圆折叠的弧 / 角关系、直角三角形的判定）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “圆折叠 + 射影定理的长度推导” 场景）

• 理解圆折叠的核心逻辑：通过操作明确 “沿弦 BC 折叠” 对应的弧、角等量关系；

• 掌握射影定理的应用条件：识别 “AB 是直径→∠ACB=90°”，明确射影定理（或相似三角形）的适用场景；

• 完成长度推导：结合折叠的角关系与射影定理，推导 BC 的长度。

1. 教师端（针对 “圆折叠 + 射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “圆折叠的角关系→直角三角形判定→射影定理应用” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “圆折叠的弧 / 角关系、直径对应的直角”，进阶层聚焦 “射影定理（或相似）的长度推导”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 在圆折叠场景中的综合应用，强化几何模型的跨场景迁移能力。

三、教学应用案例（适配圆折叠 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“圆中沿弦 BC 折叠后交直径 AB 于 D，已知 AD=4、DB=5，如何结合圆的性质与射影定理，求出 BC 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “AB 是直径、沿 BC 折叠” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“AB 是直径能推出什么角的关系？”“沿 BC 折叠后，哪些角是相等的？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生推导△ACD∽△ABC，并利用射影定理计算 BC 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明 “AB 是直径” 对应的角关系，以及沿 BC 折叠后的弧 / 角等量关系；

• 进阶层任务：推导 BC 的长度，并说明用到的定理（或相似三角形的关系）。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是圆折叠与射影定理的综合应用，利用‘直径对应直角’确定△ABC 为直角三角形，结合折叠的弧 / 角关系推导相似三角形，最终通过射影定理计算出 BC 的长度，是几何模型跨场景结合的典型题型。”