初中几何模型 - 射影定理典例 1（直角三角形 + 角平分线 + 射影定理的综合长度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现 Rt△ABC（∠ACB=90°）、CE 为∠ACB 的平分线、CD 为 AB 边上的高，标注 AC=9、BC=12，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注 AB 的长度（由勾股定理得 AB=15）、射影定理对应的线段关系（AD=AC²/AB、BD=BC²/AB）、角平分线定理对应的线段比例（AE/EB=AC/BC），以及 DE 的线段位置标识。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 ——

1. 由勾股定理计算 AB 的长度：AB=√(AC²+BC²)=√(9²+12²)=15；

2. 由射影定理计算 AD 的长度：AD=AC²/AB=81/15=27/5；

3. 由角平分线定理（AE/EB=AC/BC=3/4），结合 AB=15，计算 AE=3/7×AB=45/7；

4. 计算 DE 的长度：DE=AE - AD=45/7 - 27/5= (225-189)/35=36/35；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如勾股定理、射影定理、角平分线定理的应用）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “直角三角形 + 角平分线 + 射影定理的综合求解” 场景）

• 理解多定理融合逻辑：掌握勾股定理、射影定理、角平分线定理在直角三角形中的串联应用；

• 掌握分步计算方法：通过 “求斜边→射影定理求线段→角平分线定理求线段→算差值” 的流程，完成 DE 的长度求解；

• 认知综合题型规律：明确直角三角形中 “高 + 角平分线” 类题型的解题思路。

1. 教师端（针对 “多定理综合应用的教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “勾股→射影→角平分线→差值” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “单个定理的应用（勾股、射影）”，进阶层聚焦 “多定理的串联与计算”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 与 “勾股定理、角平分线定理” 的综合应用，强化多知识点融合的解题思维。

三、教学应用案例（适配多定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“Rt△ABC 中，AC=9、BC=12，CE 是角平分线、CD 是高，如何结合勾股、射影、角平分线定理，求出 DE 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “Rt△ABC、CE 角平分线、CD 高” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“如何用勾股定理求 AB？”“射影定理能算出 AD 的长度吗？”“角平分线定理的比例关系是什么？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生计算 DE 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：分别说明勾股定理、射影定理在本题中的应用结论；

• 进阶层任务：推导 DE 的长度，并说明用到的所有定理及计算步骤。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是直角三角形中多定理的综合应用，先通过勾股定理求斜边，再用射影定理、角平分线定理分别计算线段长度，最后通过线段差值得到 DE，是初中几何中多知识点融合的典型题型。”