初中几何模型 - 射影定理典例 10（矩形背景下的射影定理长度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现矩形 ABCD、BE⊥AC（垂足为 G），标注 CG=CD=1，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注矩形的边等量关系（CD=AB=1）、BE⊥AC 的直角标识、△BCG 与△ACB 的相似关系标注、射影定理对应的线段关系（BC2=CG⋅AC）。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先明确矩形的边性质（CD=AB=1），再由 BE⊥AC 推导△BCG∽△ACB，接着结合勾股定理得BC2=AC2−AB2，代入射影定理关系列方程（AC2−1=1⋅AC），最后求解 AC 的长度；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如矩形的边等量关系、相似三角形的判定）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “矩形 + 射影定理的长度求解” 场景）

• 理解矩形的核心性质：明确矩形中对边相等、对角线相关的线段关系；

• 掌握射影定理的应用条件：识别 BE⊥AC 对应的相似三角形（△BCG∽△ACB），明确射影定理的适用场景；

• 完成长度推导：结合矩形性质、相似三角形关系，列方程求解 AC 的长度。

1. 教师端（针对 “矩形与射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “矩形边性质→相似三角形判定→射影定理方程求解” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “矩形的边等量关系、BE⊥AC 的几何意义”，进阶层聚焦 “相似三角形与射影定理的结合方程推导”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 在矩形场景中的综合应用，强化几何模型与特殊图形性质的融合思维。

三、教学应用案例（适配矩形 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“矩形 ABCD 中，BE⊥AC 且 CG=CD=1，如何结合矩形性质与射影定理，求出 AC 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “矩形、BE⊥AC、CG=CD=1” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“矩形中 CD 与 AB 的关系是什么？”“BE⊥AC 能推出哪两个三角形相似？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生结合勾股定理与射影定理列方程，求解 AC 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明矩形中 CD 与 AB 的等量关系，以及 BE⊥AC 对应的相似三角形；

• 进阶层任务：推导 AC 的长度，并说明用到的矩形性质、相似三角形关系与射影定理。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是矩形与射影定理的综合应用，先利用矩形性质确定边的等量关系，再由 BE⊥AC 推导相似三角形，结合勾股定理与射影定理列方程，最终求解出 AC 的长度，是特殊图形性质与几何定理融合的典型题型。”