初中几何模型-8字相似模型典例3

初中几何模型 - 8 字相似模型典例 3 操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现△ABC（AB=3、BC=4）、D（BC 靠近 C 的三等分点）、E（AC 靠近 C 的三等分点）、BE 与 AD 的交点 F，重置所有元素的默认状态。

2. 全显示构造点击 “全显示” 按钮，可一次性展示解题核心构造：辅助平行线（如过 D 作平行于 AC 的线）、8 字相似（如△DEF 与△ABF）的标识、线段比例（三等分点对应的 CD=4/3、CE=1/3AC）、面积比例的标注。

3. 分步演示点击 “下一步” 按钮，按解题逻辑逐步呈现流程：先展示三等分点的线段关系，再推导△CDE 与△CBA 的相似比，接着通过 8 字相似得 F 点的分线段比例，最后推导面积比例并结合最值条件计算；点击 “上一步” 可回退至前一环节。

二、用途说明与应用场景（一）学生端（针对 “8 字相似 + 面积比例 + 最值求解” 场景）

1. 明确线段关系：掌握 “D、E 是三等分点” 对应的 CD=1/3BC、CE=1/3AC；

2. 应用 8 字相似：通过辅助平行线识别 8 字相似模型，推导交点 F 的分线段比例；

3. 推导面积比例：基于相似比与线段比例，得出△DEF 与△ABC 的面积比例；

4. 求解最值：理解 “AB、BC 固定时，夹角为 90° 的△ABC 面积最大”，结合比例计算△DEF 的最大面积。

（二）教师端（针对 “8 字相似综合 + 面积最值” 教学场景）

1. 演示构造逻辑：通过全显示与分步按钮，展示辅助线构造、相似比推导，帮助学生理解 8 字相似的应用；

2. 分层适配教学：基础层聚焦 “三等分点→线段比例→相似比”，进阶层聚焦 “面积比例→最值条件（AB⊥BC）”；

3. 关联多知识点：将 8 字相似、线段比例、三角形面积最值融合，强化综合解题思维。

三、教学应用案例

1. 情境导入（4 分钟）展示初始图形，提出问题：“△ABC 中 D、E 是三等分点，BE 交 AD 于 F，AB=3、BC=4，如何用 8 字相似求△DEF 面积的最大值？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导识别 “三等分点、8 字相似交点 F” 的核心条件；

• 点击 “全显示”，展示辅助平行线与相似标识，暂停提问：“△CDE 与△CBA 的相似比是多少？”；

• 点击 “下一步”，推导△ABC 的最大面积（AB⊥BC 时，面积 = 3×4÷2=6），再推导△DEF 与△ABC 的面积比例；

• 计算△DEF 的最大面积，暂停提问：“为什么 AB⊥BC 时△ABC 面积最大？”

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：描述△CDE 与△CBA 的相似比，及 8 字相似的对应三角形；

• 进阶层任务：推导△DEF 与△ABC 的面积比例，并计算其最大面积。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题通过三等分点得线段比例，利用 8 字相似推导面积比例；结合‘两边固定时夹角直角，三角形面积最大’的条件，计算出△DEF 的最大面积，是 8 字相似与面积最值的综合应用。”