考生网初中几何模型 - 垂线段最短模型典例 2

一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）

1. 初始化

   点击 “初始化” 按钮后，包含平面直角坐标系、OA（长度 3）、OB（长度 4）、点 P (4,0)、线段 AB 的图形会恢复至典例初始布局，确保探究起点一致，适配课堂演示与自主学习流程。
2. 全显示

   点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现该典例的核心逻辑 —— 平面直角坐标系下 PN+MN 最小值的判定依据，将 “坐标系 + 垂线段 + 线段和最值” 的复合逻辑转化为可视化步骤，降低抽象几何题的理解难度。
3. 上一步 / 下一步
4. 点击 “下一步”：逐步呈现点 M 在线段 AB、点 N 在 y 轴运动时 PN+MN 的变化逻辑、最值状态的形成原理，拆分中考坐标系背景下线段和最值难题的解题步骤，帮助学生掌握核心解法；
5. 点击 “上一步”：回退至前一画面，便于学生自查错误、教师课堂复盘细节。
6. 动态演示 / 暂停动画
7. 点击 “动态演示”：自动演示点 M 沿 AB、点 N 沿 y 轴运动的过程，同步呈现 PN+MN 的数值变化，让双动点与线段和的关联更直观，帮助学生理解坐标系下的最值规律；
8. 点击 “暂停动画”：锁定 M、N 的运动状态，方便聚焦 PN+MN 取最小值的时刻，适配学生自主观察与教师讲解需求。
9. 最小值按钮

   点击后自动定位 PN+MN 取最小值时的 M、N 点状态，同步展示对应的几何依据（垂线段最短与对称点构造的结合逻辑），帮助学生快速掌握坐标系背景下线段和最值题的核心解法。
10. 数据验证复选框

    勾选后会显示 PN、MN 及 PN+MN 的实时数值，通过数值对比强化对 “坐标系下线段和最小值对应垂线段位置” 的理解，让抽象结论更具说服力。
11. 点拖动操作

    按照界面说明 “点 A、B、C 可拖动”，手动拖动任意点时，平台会实时同步图形与线段长度的变化，直观呈现 “点位置 - 线段和” 的联动规律，支持学生自主探索坐标系下的垂线段最短逻辑。
12. 窗口辅助操作
13. 拖动图形区域可调整显示位置，避开遮挡以聚焦坐标系、线段 AB 及动点的构造细节；
14. 调整窗口视角可更清晰观察 M、N 的运动轨迹与 PN+MN 的数值关联，辅助理解双动点的最值逻辑。

二、用途说明（含分层教学适配）

（1）对学生

1. 精准突破中考综合考点

   聚焦 “平面直角坐标系 + 垂线段 + 双动点线段和最小值” 这一中考几何综合难点，通过交互功能自主梳理 “坐标系构造 - 双动点运动 - 垂线段最短” 的解题逻辑，攻克几何综合题的丢分点。

2. 学习更直观高效

   借助动态演示与数值同步功能，摆脱被动记忆，将 “坐标系 + 双动点 + 线段和最值” 的抽象原理转化为可视可操作的过程，降低学习难度，提升理解深度与学习效率。

3. 构建系统化知识体系

   结合考生网 “垂线段最短系列”“平面直角坐标系几何系列” 模型，联动训练不同场景的动点最值题，构建覆盖中考几何综合题型的知识框架。

（2）对教师

1. 轻松演示复杂题型

   无需手绘平面直角坐标系、双动点、线段等图形，通过 “动态演示 + 全显示” 功能快速展示 PN+MN 的变化规律，5 分钟即可讲透原本需大量板书的坐标系最值逻辑，节省课堂时间。

2. 分层教学适配全层次学生

3. 基础层学生：通过 “全显示 + 最小值” 按钮聚焦结论与构造步骤，配套 “跟着操作标记动点” 的任务，帮助后进生跟上课堂节奏；

4. 进阶层学生：引导自主拖动 A/B 点，观察不同坐标系布局下的线段和变化，总结坐标系背景下的垂线段最短核心规律；

5. 拔高层学生：布置 “自主设计坐标系 + 三动点线段和最值” 变式题，借助模型验证思路，提升尖子生的几何创新解题能力。

6. 丰富教案内容

   预设的交互步骤可直接整合至教案，让几何综合课从 “枯燥讲题” 转变为 “互动探究”，活跃课堂氛围，提升教学质量。

三、教学应用案例与实施策略

（1）课堂教学案例：八年级 “坐标系 + 双动点线段和最值” 探究课（20 分钟片段）

1. 情境导入

   展示 “平面直角坐标系中，点 P 在 x 轴上，需在 AB 线段、y 轴上分别找一点 M、N，使 P 到 N 再到 M 的路径最短” 的生活情境，提问 “M、N 应在何处时，路径最短？”，引出本模型。
2. 模型操作
3. 点击 “动态演示” 按钮，演示 M 沿 AB、N 沿 y 轴运动的过程，引导学生观察 PN+MN 长度的变化趋势；
4. 点击 “最小值” 按钮，定位 PN+MN 取最小值时的 M、N 状态，引导学生观察此时的坐标系构造与垂线段关联。
5. 分层任务
6. 基础层：跟着操作标记出 PN+MN 最小时的 M、N 位置，写出 “构造对称点 + 利用垂线段最短” 的解题步骤；
7. 进阶层：拖动 A/B 点调整坐标系布局，重复操作并记录 PN+MN 的变化规律，总结坐标系下的最值特征；
8. 拔高层：尝试增加 x 轴上的动点 Q，设计 “PQ+QN+MN” 的最值问题，借助模型验证构造思路。
9. 总结反馈

   各层次学生分享结果，借助 “全显示” 功能梳理 “坐标系 + 双动点 + 垂线段最短” 的核心逻辑，强化认知。

（2）分层教学实施策略

（3）课后巩固分层任务

1. 基础层：通过模型重复操作 2 次不同坐标系布局的案例，记录 PN+MN 取最小值时的构造步骤；

2. 进阶层：完成 2 道中考 “坐标系 + 双动点线段和” 结合的最值真题，用模型验证答案的合理性；

3. 拔高层：总结 3 种 “坐标系背景下垂线段最短” 的构造方法，结合模型的数值功能佐证结论。