初中几何模型-一线三等角全等模型典例5

初中几何模型 - 一线三等角全等模型典例 5 操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至初始状态：Rt△ABC（等腰直角，∠ACB=90°、AC=BC）复位，D、E 点回到初始位置，重置所有解题构造与步骤的展示状态。

2. 全显示构造点击 “全显示” 按钮，可一次性展示解题核心辅助构造：过 B 作 BF⊥CE，交 CE 的延长线于点 F，形成一线三等角的全等三角形（△ACE≌△CBF），同时标注角的等量关系（∠CAE=∠BCF）与边的对应关系。

3. 分步演示点击 “下一步” 按钮，按解题逻辑逐步呈现流程：

• 第一步：由 Rt△ABC 是等腰直角三角形，得 AC=BC、∠ACB=90°；

• 第二步：由 CE⊥AD、BF⊥CE，得∠AEC=∠CFB=90°，结合∠CAE+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°，推得∠CAE=∠BCF；

• 第三步：通过 AAS 判定△ACE≌△CBF，得对应边 CE=BF=2；

• 第四步：△BEC 的面积为21×CE×BF=21×2×2=2；点击 “上一步” 按钮，可回退至前一推导环节。

二、用途说明与应用场景（一）学生端（针对 “等腰直角三角形 + 一线三等角全等 + 面积计算” 场景）

1. 掌握等腰直角三角形性质：能快速识别等腰直角三角形的边、角关系（AC=BC、∠ACB=90°）；

2. 应用辅助线与全等构造：理解 “作垂线构造直角三角形” 的方法，通过一线三等角的角等量关系推导三角形全等；

3. 关联全等与面积计算：通过全等的边对应关系，直接利用垂直边的长度计算三角形面积。

（二）教师端（针对 “等腰直角三角形载体下的全等 + 面积教学” 场景）

1. 演示辅助线构造逻辑：借助 “全显示” 功能，展示 “作 BF⊥CE” 的辅助线思路，帮助学生理解一线三等角全等的搭建方法；

2. 关联角等量与全等判定：将 “垂直产生的直角”“同角的余角相等” 作为全等的前提条件，串联角关系与全等判定；

3. 简化面积计算思维：通过全等的边对应关系，直接利用垂直边的长度计算面积，避免复杂的坐标或边长推导。

三、教学应用案例

1. 情境导入（4 分钟）展示初始图形，提出问题：“等腰直角△ABC 中，CE⊥AD 且 CE=2，如何用一线三等角全等模型求△BEC 的面积？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导识别△ABC 是等腰直角三角形（AC=BC、∠ACB=90°）；

• 点击 “全显示”，展示 BF⊥CE 的辅助构造，提问：“△ACE 与△CBF 全等的判定依据是什么？”（AAS：∠AEC=∠CFB，∠CAE=∠BCF，AC=BC）；

• 点击 “下一步”，推导 CE=BF=2，计算△BEC 的面积为 2。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：描述△ABC 的等腰直角性质，说明△ACE≌△CBF 的角等量依据；

• 进阶层任务：解释△BEC 的面积为何可通过 “21×CE×BF” 计算。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题结合等腰直角三角形的性质，通过作垂线构造一线三等角全等模型，利用全等的边对应关系直接计算△BEC 的面积，是全等模型简化面积计算的典型应用。”