正弦定理的外接圆几何证明模型

正弦定理的外接圆几何证明模型

正弦定理的外接圆几何证明模型，用于直观解释正弦定理的推导逻辑，具体说明如下：

1. 图形元素含义

• 大圆是△ABC 的外接圆，R是外接圆半径；

• a是△ABC 中角A对边（即BC的长度），图中绿色直角三角形是 “弦BC的一半、半径R、弦心距” 构成的直角三角形。

2. 推导逻辑根据圆周角与圆心角的关系，角A对应的圆心角为2A；在绿色直角三角形中：\(\sin A = \frac{\text{弦}BC\text{的一半}}{R} = \frac{a/2}{R}\)整理后得到：\(a = 2R\sin A\)。同理可推导出\(b = 2R\sin B\)、\(c = 2R\sin C\)，最终得到正弦定理：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)

3. 模型作用通过外接圆的几何结构，把 “三角形边长、内角正弦值、外接圆半径” 的关系可视化，帮助理解正弦定理的几何本质。

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